Na matemática, a fórmula de Riemann-Hurwitz, nomeada em homenagem a Bernhard Riemann e Adolf Hurwitz, descreve a relação entre as características de Euler de duas superfícies quando uma é um revestimento ramificado da outra. Portanto, ela conecta a ramificação com a topologia algébrica, neste caso. É um resultado prototípico para muitos outros e é frequentemente aplicado na teoria das superfícies de Riemann (que é a sua origem) e das curvas algébricas.

Declaração Para uma superfície

S

{\displaystyle S}

compacta, conexa e orientável, a característica de Euler

χ ( S )

{\displaystyle \chi (S)}

é

χ ( S ) = 2 − 2 g

{\displaystyle \chi (S)=2-2g}

, onde

g

{\displaystyle g}

é o gênero (o número de alças ou buracos). Isso se segue, pois os números de Betti são

1 , 2 g , 1 , 0 , 0 , ...

{\displaystyle 1,2g,1,0,0,\dots }

. Para o caso de um mapeamento de revestimento (não ramificado) de superfícies

π :

S ′

→ S

{\displaystyle \pi \colon S'\to S}

que é sobrejetivo e de grau

N

{\displaystyle N}

, temos a fórmula

χ (

S ′

) = N ⋅ χ ( S ) .

{\displaystyle \chi (S')=N\cdot \chi (S).}

Isso ocorre porque cada simplexo de

S

{\displaystyle S}

deve ser coberto por exatamente

N

{\displaystyle N}

em

S ′

{\displaystyle S'}

, pelo menos se usarmos uma triangulação de

S

{\displaystyle S}

suficientemente fina, o que temos o direito de fazer, uma vez que a característica de Euler é um invariante topológico. O que a fórmula de Riemann-Hurwitz faz é adicionar uma correção para levar em conta a ramificação (folhas se juntando). Agora assuma que

S

{\displaystyle S}

e

S ′

{\displaystyle S'}

são superfícies de Riemann e que o mapeamento

π

{\displaystyle \pi }

é analítico complexo. Diz-se que o mapeamento

π

{\displaystyle \pi }

é ramificado em um ponto

P

{\displaystyle P}

em

S ′

{\displaystyle S'}

se existirem coordenadas analíticas perto de

P

{\displaystyle P}

e

π ( P )

{\displaystyle \pi (P)}

tais que

π

{\displaystyle \pi }

tome a forma

π ( z ) =

z

n

{\displaystyle \pi (z)=z^{n}}

, e

n > 1

{\displaystyle n>1}

. Uma maneira equivalente de pensar sobre isso é que existe uma pequena vizinhança

U

{\displaystyle U}

de

P

{\displaystyle P}

tal que

π ( P )

{\displaystyle \pi (P)}

tem exatamente uma pré-imagem em

U

{\displaystyle U}

, mas a imagem de qualquer outro ponto em

U

{\displaystyle U}

tem exatamente

n

{\displaystyle n}

pré-imagens em

U

{\displaystyle U}

. O número

n

{\displaystyle n}

é chamado de índice de ramificação em

P

{\displaystyle P}

e é denotado por

e

P

{\displaystyle e_{P}}

. Ao calcular a característica de Euler de

S ′

{\displaystyle S'}

, notamos a perda de

e

P

− 1

{\displaystyle e_{P}-1}

cópias de

P

{\displaystyle P}

acima de

π ( P )

{\displaystyle \pi (P)}

(ou seja, na imagem inversa de

π ( P )

{\displaystyle \pi (P)}

). Agora vamos escolher triangulações de

S

{\displaystyle S}

e

S ′

{\displaystyle S'}

com vértices nos pontos de ramificação (na base e no revestimento), respectivamente, e usá-las para calcular as características de Euler. Então

S ′

{\displaystyle S'}

terá o mesmo número de faces

d

{\displaystyle d}

-dimensionais para

d

{\displaystyle d}

diferente de zero, mas menos vértices do que o esperado. Portanto, encontramos uma fórmula "corrigida"

χ (

S ′

) = N ⋅ χ ( S ) −

∑

P ∈

S ′

(

e

P

− 1 )

{\displaystyle \chi (S')=N\cdot \chi (S)-\sum _{P\in S'}(e_{P}-1)}

ou, como também é comumente escrita, usando

χ ( X ) = 2 − 2 g ( X )

{\displaystyle \chi (X)=2-2g(X)}

e multiplicando tudo por

− 1

{\displaystyle -1}

:

2 g (

S ′

) − 2 = N ⋅ ( 2 g ( S ) − 2 ) +

∑

P ∈

S ′

(

e

P

− 1 )

{\displaystyle 2g(S')-2=N\cdot (2g(S)-2)+\sum _{P\in S'}(e_{P}-1)}

(todos, exceto um número finito de

P

{\displaystyle P}

, têm

e

P

= 1

{\displaystyle e_{P}=1}

, então isso é bastante seguro). Esta fórmula é conhecida como a fórmula de Riemann-Hurwitz e também como o teorema de Hurwitz. Outra forma útil da fórmula é:

χ (

S ′

) −

b ′

= N ⋅ ( χ ( S ) − b )

{\displaystyle \chi (S')-b'=N\cdot (\chi (S)-b)}

onde

b

{\displaystyle b}

é o número de pontos de ramificação em

S

{\displaystyle S}

(imagens dos pontos de ramificação) e

b ′

{\displaystyle b'}

é o tamanho da união das fibras dos pontos de ramificação (isso contém todos os pontos de ramificação e talvez alguns pontos não ramificados). De fato, para obter essa fórmula, remova vizinhanças de disco disjuntas dos pontos de ramificação de

S

{\displaystyle S}

e suas pré-imagens em

S ′

{\displaystyle S'}

de modo que a restrição de

π

{\displaystyle \pi }

seja um revestimento. Remover um disco de uma superfície reduz sua característica de Euler em

1

{\displaystyle 1}

pela fórmula para soma conexa, então finalizamos pela fórmula para um revestimento não ramificado. Também podemos ver que esta fórmula é equivalente à forma usual, pois temos

N ⋅ b −

b ′

=

∑

P ∈

S ′

(

e

P

− 1 )

{\displaystyle N\cdot b-b'=\sum _{P\in S'}(e_{P}-1)}

já que, para qualquer

Q ∈ S

{\displaystyle Q\in S}

, temos

N =

∑

P ∈

π

− 1

( Q )

e

P

{\displaystyle N=\sum _{P\in \pi ^{-1}(Q)}e_{P}}

Exemplos A função

℘

{\displaystyle \wp }

de Weierstrass, considerada como uma função meromorfa com valores na esfera de Riemann, produz um mapeamento de uma curva elíptica (gênero 1) para a reta projetiva (gênero 0). É um revestimento duplo (

N = 2

{\displaystyle N=2}

), com ramificação em apenas quatro pontos, nos quais

e = 2

{\displaystyle e=2}

. A fórmula de Riemann-Hurwitz então se lê

0 = 2 ⋅ 2 − 4 ⋅ ( 2 − 1 )

{\displaystyle 0=2\cdot 2-4\cdot (2-1)}

com o somatório tomado sobre os quatro pontos de ramificação. A fórmula também pode ser usada para calcular o gênero de curvas hiperelípticas. Como outro exemplo, a esfera de Riemann é mapeada sobre si mesma pela função

z

n

{\displaystyle z^{n}}

, a qual tem índice de ramificação

n

{\displaystyle n}

em

0

{\displaystyle 0}

, para qualquer inteiro

n > 1

{\displaystyle n>1}

. Só pode haver outra ramificação no ponto no infinito. A fim de equilibrar a equação

2 = n ⋅ 2 − ( n − 1 ) − (

e

∞

− 1 )

{\displaystyle 2=n\cdot 2-(n-1)-(e_{\infty }-1)}

devemos ter índice de ramificação

n

{\displaystyle n}

no infinito também.

Consequências Diversos resultados em topologia algébrica e análise complexa se seguem. Primeiramente, não existem mapeamentos de revestimento ramificados de uma curva de gênero menor para uma curva de gênero maior – e assim, uma vez que mapeamentos meromorfos não constantes de curvas são espaços de revestimento ramificados, não há mapeamentos meromorfos não constantes de uma curva de gênero menor para uma curva de gênero maior. Como outro exemplo, a fórmula mostra imediatamente que uma curva de gênero 0 não tem revestimento com

N > 1

{\displaystyle N>1}

que seja não ramificado em todos os lugares: porque isso daria origem a uma característica de Euler

> 2

{\displaystyle >2}

.

Generalizações Para uma correspondência de curvas, existe uma fórmula mais geral, o teorema de Zeuthen, que fornece a correção de ramificação para a primeira aproximação de que as características de Euler estão na razão inversa dos graus da correspondência. Um revestimento de orbifold de grau

N

{\displaystyle N}

entre superfícies orbifold

S ′

{\displaystyle S'}

e

S

{\displaystyle S}

é um revestimento ramificado, logo a fórmula de Riemann-Hurwitz implica a fórmula usual para revestimentos

χ (

S ′

) = N ⋅ χ ( S )

{\displaystyle \chi (S')=N\cdot \chi (S)\,}

denotando com

χ

{\displaystyle \chi \,}

a característica de Euler do orbifold.

Referências

Bibliografia Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, ISBN 978-0-387-90244-9, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR 0463157, OCLC 13348052 , section IV.2. Jost, Jurgen (2006), Compact Riemann Surfaces, ISBN 978-3-540-33065-3, Berlin, New York: Springer-Verlag